חזקות וגם שורשים במתמטיקה הינם מהפעולות הבסיסיות והנפוצות ביותר. עם התקדמותנו בחומר הלימוד, אנו נחשפים לכמות עולה של שורשים וחזקות, עד כדי נוכחות כמעט מתמדת שלהם בכל תרגיל. מתוך כך, ישנה חשיבות רבה ביותר להבנה עמוקה ונכונה של בסיס החומר, שכן עליו נבנים נושאים מתמטיים רבים אחרים.
לפני שמגיעים לעסוק בשורשים, חשוב להבהיר מהן החזקות.
מה זו חזקה?
חזקה, ביסודה, היא למעשה פעולת קיצור של הכפלה חוזרת ונשנית של מספר בעצמו. לדוגמה: במקום לכתוב 5*5*5*5, כלומר, חמש כפול עצמו – 4 פעמים, נכתוב 5^4 כלומר, חמש בחזקת ארבע. לפיכך, המטרה היסודית ביותר של כיום החזקה הוא קיצור הכתיבה, כשם שלו היינו כותבים כל חזקה בצורת כפל, החל משלב מתמטי מסוים התרגילים היו נראים מסורבלים ביותר.
בנוסף, כאשר אנו מגיעים לעסוק בתחומים מתמטיים בהם ישנם משתנים – כלומר, אותיות שמייצגות מספרים שאינם נתונים לנו, החזקה מקבלת משמעות חסרת תחליף, מכיוון שאנו לא יכולים לבטא מכפלה של מספר בכמות פעמים שאינה ידועה לנו. לדוגמה: a^b, איי בחזקת בי, לא יוכל להתבטא באמצעות מכפלה – a*a*a*a… b פעמים.
מהו שורש?
שורש הוא הפעולה ההפוכה לחזקה. כלומר, לו היינו מעלים מספר בחזקה מסויימת, ביצוע פעולת השורש המקביל לה יחזיר את המספר לקדמותו. לדוגמה: 2^3 = 6, שתיים בחזקת שלוש שווה שש – ושורש שלישי של שש שווה 2, לפיכך חזקות הן למעשה הפעולה ההופכית לפעולת שורשים. מתמטיקה הינה תורה המתעסקת בדיוק ובסימטריה, ולכן לפעולות רבות ישנן פעולות הופכיות.
חשוב לציין כי תוצאה של שורש תמיד תהיה חיובית, ושפעולת השורש קודמת לשאר פעולות החשבון – כלומר, עלינו לבצע את פעולת השורש לפני הפעולות האחרות.
חוקי שורשים חשובים
כעת, אחרי שהבהרנו מהם השורשים, עלינו לעבור על כמה חוקי שורשים חשובים אשר יסייעו לנו בהבנה של החומר:
- מכפלת שורשים – מכפלה של שני מספרים אשר נמצאים תחת שורש בנפרד, שווה לשורש של מכפלת שני המספרים הללו יחד. כלומר, שורש שש כפול שורש 4 שווה לשורש של שש כפול ארבע – שורש עשרים וארבע.
כלל זה יכול לבוא לידי ביטוי גם בכיוון ההפוך – אם נתון לנו לדוגמה שורש של שש, אנחנו יכולים לפצל אותו לשורש שלוש כפול שורש שתיים. פעולה זו יכולה לסייע לנו בצמצום אגפים במשוואות.
- שורש של שורש – במצב בו נתון לנו שורש בתוך שורש אנו נכפיל שני השורשים לכדי שורש אחד. כלומר, סכום השורשים שלנו יהיה השורש החדש שיתקבל. לדוגמה: נתון לנו שורש שלישי של תשע. את איבר זה בשלמותו מכניסים לשורש ריבועי נוסף. לפיכך התוצאה תהיה שורש שלוש כפול ארבע של תשע, כלומר – שורש שתיים עשרה של תשע.
- שורש חצי – שורש של חצי שווה תמיד שורש שתיים חלקי שתיים, או אחד חלקי שורש שתיים. אלו שני ביטוייים זהים שדרך הביטוי שלהם שונה. דרך ההוכחה לכך פשוטה – על מנת להגיע לביטוי חצי – 1:2 באמצעות חזקה, עלינו להכפיל ביטוי בעצמו. שני הביטויים היחידים שההכפלה שלהם בעצמם תוביל לחצי הם שורש שתיים חלקי שתיים או אחד חלקי שורש שתיים. ניתן לבדוק זאת בקלות – הכפלת שברים אנו עושים באמצעות הכפלת מונה במונה ומכנה במכנה. אם המונה הוא שורש שתיים, הרי ששורש שתיים כפול שורש שתיים הוא שתיים. אם המכנה הוא שתיים, שתיים כפול שתיים שווים לארבע. מתוך כך מגיעים לשתיים חלקי ארבע, או במילים אחרות, חצי. כך בדוגמה השנייה 1*1=1 במונה, ובמכנה שורש שתיים בריבוע שווה 2.
חברת allteachers מתמחה מזה שנים רבות בהנגשת מרחבי הלמידה הטובים ביותר לבית התלמיד. רשת זו מציעה שיעורים פרטיים בכל רחבי הארץ, אשר מועברים באמצעות המורים המובילים בישראל. החברה עוסקת בתחומי לימוד רבים, לרבות הכנות לבגרות ולתיכון – גם בתחום חוקי שורשים וחזקות. לפרטים נוספים אודות החברה, לחצו כאן.