עם ההתקדמות שלנו בנושאים המתמטים, אנו שואפים לחסוך כמה שיותר זמן. אנו לומדים על דרכים מגוונות לתמצת פעולות ארוכות לביטויים קצרים, זאת על מנת שנוכל לבצע פעולות מורכבות יותר מבלי להתעסק בחישובים מיותרים – לדוגמה: חזקות מחליפות פעולות חוזרות ונשנות של כפל. נוסחאות כפל מקוצר הינן חשובות ביותר על מנת להתקדם בתחום המשוואות – תחום מרכזי ביותר. תלמיד אשר שולט בתחום נוסחאת הכפל המקוצר, יוכל לבצע פעולות מתמטיות מורכבות בקלות רבה ביותר, וברמת דיוק גבוהה יותר.
כשזה נוגע לתחום נוסחאות הכפל המקוצר – כיתה ט היא משמעותית ביותר, כשם שבה אנו נחשפים לראשונה לחומר מסוג זה, ולנוסחאות אלו. תלמידים רבים אשר עולים לכיתה זו חווים הלם מהחומר שנדמה מסובך בהרבה מזה שנלמד בכיתות הנמוכות. עם זאת, עבודה ממוקדת ויעילה בתחילת הדרך על נושא זה יכולה להקל משמעותית על המשך ההתקדמות המתמטית, ולהקל רבות על המעבר לנושאים מורכבים יותר. כאשר אנו נחשפים לחומר בצורה הנהירה והברורה ביותר, מתחוור לנו שלמעשה לא מדובר בחומר קשה במיוחד – נוסחאת כפל מקוצר היא רק שפה מעט שונה שעלינו להכיר.
מהן משוואות כפל מקוצר?
משוואות אשר מאפשרות לנו כפל מקוצר הינן ממעלה שנייה או שלישית – כלומר, בעלות משתנים אשר המעריך שלהן הוא הספרות 2 או 3. כאשר אנו מעוניינים לפתור משוואות מסוג זה, השאיפה שלנו היא צמצום כמה שיותר נרחב לכל איברים המשוואה – ולשם כך נועד כפל מקוצר. נוסחאות אלו מאפשרות לנו לצמצם את המשוואה לכמות איברים פחותה, או לפתוח סוגריים בקלות ומתוך כך לצמצם את האיברים החדשים שנוצרו.
סוגי משוואות כפל מקוצר
- משוואות ממעלה שנייה – משוואות אלו נפוצות ביותר, בייחוד בחומר של הבגרות. אלו יופיעו לעתים קרובות בתחומי החשבון הדיפרנציאלי כפונקציות. העיקרון המנחה של שימוש בנוסחאות האלו הוא זיהוי של פוטנציאל הנוסחה ומימושו. כלומר – כאשר אנו משננים את נוסחאות אלו, אנו יכולים לזהות פונקציות אשר ניתן ליישם עליהן את הנוסחה. לדוגמה – במצב בו אנו רואים שני איברים בתוך סוגריים אשר מועלים בריבוע, אנו משתמשים בנוסחת פתיחת סוגריים בריבוע באופן אוטומטי ומבלי לפתוח את הסוגריים שלב שלב.
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(x + y)•(x – y) = x2 – y2
שימוש בנוסחאות שצוינו לעיל יכול להקל מאוד בפתיחת הסוגריים, והוא אף הכרחי על מנת לפתור בדרגת סיבוך גבוהה יותר.
- משוואות ממעלה שלישית – אלו משוואות בדרגת קושי גבוהה יותר, ומתוך כך – שינון של נוסחאות הכפל המקוצר אשר נוגעות להן יכול לחסוך כמות גדולה יותר של זמן. משוואה זו דומה לאלו במעלה השנייה, אך החזקה בה היא הספרה 3.
(x + y)•(x2 – xy + y2) = x3 + y3
(x – y)•(x2 + xy + y2) = x3 – y3
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
כמו שאנו רואים, בשני זוגות הנוסחאות הללו אחד האגפים מצומצם ביותר, בעוד שהשני ארוך. זהו אינדיקציה ברורה לכך ששימוש בנוסחאות הכפל המקוצר יכולה לקצר משמעותית את פעולת פתיחת הסוגריים וצמצום האיברים בכל אגף.
חברת allteachers היא רשת שיעורים פרטיים בנושאים מגוונים אשר פועלת בכל רחבי הארץ. ברשות החברה נבחרת מורים מהמקצועיים והיצירתיים בישראל, אשר לכל אחד תחומי התמחות ספציפיים. שאיפת הרשת היא יצירת סביבת הלמידה האידאלית גם בבית התלמיד. לפרטים נוספים אודות החברה לחצו כאן.