חוקי חזקות ושורשים – סיכום כללי חזקות

ככל שאנו מתקדמים בלימודי המתמטיקה שלנו, החזקות נעשות חלק בלתי נפרד מהם. שימוש בחזקות מייצר אפשרויות מתמטיות תיאורטיות רבות, ולפיכך משתלב בכל תחומי המתמטיקה – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, גיאומטריה, גיאומטריה אנליטית וכדו׳. מתוך כך, לימוד חוקי חזקות וגם נוסחאות חזקות הינו משמעותי עבור המשך ההתקדמות המתמטית שלנו.

מהי חזקה?

לפני שנעסוק בפירוט בחוקי החזקות השונים, חשוב להציג בבירור את מבנה החזקה:

חזקה בעיקרון מורכבת משני גורמים, אחד – בסיס החזקה, הוא המספר, הספרה או המשתנה עליהם נבצע את פעולת החזקה, והשני – מעריך החזקה, הוא למעשה המנוע שקובע כמה פעמים נבצע את פעולת החזקה.

מהי פעולת החזקה?

הכפלה של בסיס החזקה בעצמו, לפי מספר הפעמים שמופיע במעריך שלו. 

לדוגמה:

A^b (איי בחזקת בי) = A*A*A…. b פעמים.

חוקי חזקות – סיכום

להלן סיכום בתמצות עבור חוקי חזקות ושורשים – דף נוסחאות שיעזור לכם בתחילת דרככם בתחום מתמטי זה:

• כפל חזקות עם בסיסים שווים – במידה ואנו נתקלים במכפלה של איברים מסוג חזקה (לדוגמה: 2 בחזקת 4, או a בחזקת b) ולהם בסיסים שווים (לדוגמה: 2 בחזקת 4 כפול 2 בחזקת 3 [2, כפי שצוין לעיל, הוא בסיס החזקה, או a בחזקת b כפול a בחזקת c), אנו נחבר בין המעריכים! כלומר – 2^4 * 2^3 = 2^4+3 = 2^7 וכך גם במצב של כפל חזקות עם משתנים – a^b * a^c = a^b+c.
• חילוק חזקות עם בסיסים שווים – פועל בצורה דומה, רק הפוכה, כלומר – אם במצב של כפל החזקות חיברנו בין המעריכים, בחילוק נחסיר את המעריכים. לדוגמה – 2^4 :2^2 = 2^4-2 = 2^2 וגם במצב התעסקות במשתנים – a^b : a^c = a^b-c.
• חזקה אשר מועלית בחזקה נוספת – כלומר, מצב בו יש לנו איבר של חזקה בתוך סוגריים, ואת כל הסוגריים מעלים בעוד חזקה . במצב כזה מכפילים את מעריכי החזקה אחד בשני – לדוגמה-  (a^b)^c=a^b*c. 
• במצב בו מכפילים בין שני איברי חזקה בהם בסיסי החזקה שונים אך מעריכי החזקה זהים מכניסים את שני בסיסים למכפלה בתוך סוגריים, ואת כל הסוגריים מעלים במעריך החזקה הזהה. לדוגמה – a^b * c^b = (a*c)^b. 
• חילוק בין שני איברי חזקה בהם בסיסי החזקה שונים אך מעריכי החזקה זהים – בדומה לסעיפים לעיל פעולה זו דומה לזו של הכפלת האיברים אך הפוכה, כלומר – הכנסת שני הבסיסים לסוגריים וחילוק שלהם במקום הכפלה שלהם. את הסוגריים מעלים במעריך החזקה המשותף. לדוגמה – a^b : c^b = (a:c) ^ b.
• במקרה של חזקה עם מעריך שלילי – לדוגמה a^-b או 2^-3, מחלקים את הספרה 1 בחזקה, אך הופכים את המעריך לחיובי. כלומר – a^-b = 1:a^b, או 2^-3 = 1:2^3.
• משוואה מעריכית – במצב בו יש שיוויון בין שני אגפי המשוואה וגם בין שני בסיסי החזקה – מכאן נובע שגם המעריכים בהם שווים. לדוגמה: אם x^b = x^c אזי – b=c.

כאשר מתחילים נושא משמעותי דוגמת חזקות ושורשים, אשר ילווה אותנו בהמשך ההתקדמות שלנו בכל תחומי המתמטיקה, חשוב להקפיד על הבנה עמוקה ואורגנית של הבסיס. לשם כך, כאשר עוסקים בתחום חוקי חזקות ושורשים – דף נוסחאות כמו זה שנוסח לעיל, הוא כלי עזר חשוב ביותר. 

חברת all teachers היא הרשת המתקדמת, הוותיקה והמובילה בארץ ללימודי מתמטיקה במגוון רמות ותחומים. תלמידי  allteachersמקבלים כלים וידע אשר מועבר על ידי מורים מהמקצועיים בארץ. מורים אלו מתמחים בין היתר בהכנה דקדקנית ויסודית למבחני הבגרות, לרבות תחום חוקי החזקות והשורשים. למידע נוסף בנושא לחצו כאן.